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Degenerations of the diagonal of a flag variety
Michel Brion (IF, Grenoble)
Abstract
By a classical result, the diagonal of a flag variety
admits a Künneth decomposition in the Chow ring, as the
sum of products of Schubert varieties by their opposite
Schubert varieties. In the talk, we will provide a
geometric explanation of this result by constructing
a degeneration of the diagonal to the expected limit,
and describing the parameter space for such degenerations.
As a corollary, we will obtain a Künneth formula for
the class of the diagonal in (equivariant) K-theory.
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K-théorie de Milnor-Witt et de Witt des corps
Robin Carlier (ENS de Lyon)
Abstract
Dans cet exposé, on rappellera la définition de la K-théorie de Milnor-Witt, une variante de la
K-théorie de Milnor, et de la K-théorie de Witt. On énoncera quelques-uns des principaux théorèmes
concernant ces objets afin de décrire leurs liens avec la théorie des formes bilinéaires
symétriques et leur place dans la théorie de l’homotopie motivique. Enfin, on étudiera de plus près la K-théorie de Witt des
corps de caractéristique 2 afin de compléter un théorème de Morel donnant une présentation des
puissances de l’idéal fondamental de l’anneau de Witt d’un corps.
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Autour de la conjecture standard de type Lefschetz relative
Mattia Cavicchi (Orsay)
Abstract
Un argument classique montre qu'une variété lisse et projective $X$ sur un corps,
qui vérifie la conjecture standard de type Lefschetz $B(X)$, vérifie aussi la
conjecture de Künneth. Dans un travail récent en collaboration avec Ancona,
Laterveer et Saccà, nous avons formulé, lorsque $X$ est la source d'une
fibration $f$, une version relative $B(X,f)$ de $B(X)$, et établi son lien
avec la conjecture de Künneth relative. Le but de l'exposé est d'illustrer
ce cercle d'idées et d'expliquer que dans certains cas,
on peut "passer du relatif à l'absolu" - i.e. déduire $B(X)$ à
partir de $B(X,f)$. Ceci donne en particulier une preuve des conjectures
standard pour de nouvelles familles de variétés hyperkähleriennes.
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Higher enhancements of perverse Nori motives and Hodge realisation of Voevodsky motives
Swann Tubach (ENS de Lyon)
Abstract
Let $k$ be a field of characteristic zero and $X$ be a quasi-projective
$k$-variety. The category of perverse Nori motives over $X$ is an
abelian category modeled on perverse sheaves but instead of having coefficients
in $\mathbb{Q}$-vector spaces, they have stalks in the Tannakian category of motives
constructed by Nori. They were constructed by Ivorra and S. Morel.
Their work, together with the work of Terenzi provides the 6 operations
on the derived category of perverse Nori motives.
By adapting an argument due to Nori in the setting of constructible sheaves
on the complex points of $X$, we show that the derived category of perverse
Nori motives is the derived category of its constructible heart.
This enables us to see each of the 6 operations as a right derived functor,
which have natural higher categorical lifts. Thanks to the work of Drew, Gallauer
and Robalo, the existence of those lifts gives us a comparison functor from
the stable category of Voevodsky motives over $X$, compatible with the operations.
Our arguments also work for mixed Hodge modules, providing a Hodge realisation of
étale Voevodsky motives. If times permits, we will explain how to use higher
categorical tools to expand perverse Nori motives, together with the 6 operations,
from quasi-projective varieties to all finite type $k$-schemes, and even to all
qcqs schemes of characteristic zero (for those, we do not extend all the operations).